Unidad 1 · Tema 07

Coordenadas polares

Una posición en el plano también puede describirse con una distancia radial y un ángulo, en vez de componentes cartesianas. Esta base cambia de dirección con el movimiento, lo que introduce términos adicionales en velocidad y aceleración.

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Concepto 01

Coordenadas r y θ y base móvil

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Una posición plana puede describirse mediante la distancia radial r y el ángulo θ medido desde un eje de referencia.

r^ \hat r apunta radialmente hacia afuera y θ^ \hat\theta es perpendicular a r^ \hat r en el sentido de aumento de θ.

ComprendeInterpreta y conecta

A diferencia de i y j, los unitarios polares cambian de dirección cuando cambia θ. Aunque sus magnitudes permanecen iguales a uno, sus derivadas no son cero.

ProfundizaFormulación y condiciones

Las relaciones dr^dt=θ˙θ^ydθ^dt=−θ˙r^ d\hat r/dt=\dot\theta\hat\theta,\quad d\hat\theta/dt=-\dot\theta\hat r explican los términos adicionales que aparecen al derivar posición y velocidad.

ExploraConexiones para continuar

Las coordenadas polares resultan naturales cuando existe un centro distinguido. En problemas sin simetría radial, una base cartesiana puede producir una descripción más sencilla.

Una partícula se encuentra sobre un rayo a cuarenta y cinco grados. El unitario radial apunta hacia afuera y el transversal es perpendicular.rr̂θ̂(r, θ)θ

r^ \hat r apunta desde el origen hacia la partícula y θ^ \hat\theta es perpendicular en el sentido de aumento de θ. Ambos unitarios rotan cuando cambia el ángulo.

Concepto 02

Velocidad en coordenadas polares

Esencial Lo mínimo que debes conservar

La velocidad combina cambio radial y cambio angular: una parte sigue r^ \hat r y otra sigue θ^ \hat\theta .

ComprendeInterpreta y conecta

r˙ \dot r mide qué tan rápido cambia la distancia al origen. r θ˙ \dot\theta es la rapidez transversal debida al giro.

ProfundizaFormulación y condiciones

La expresión se obtiene derivando r→=rr^ \vec r=r\hat r y usando que r^ \hat r cambia con θ. Por eso no basta con derivar únicamente la coordenada r.

ExploraConexiones para continuar

Una trayectoria espiral combina cambio radial y giro. Según sus signos, el objeto puede acercarse al origen mientras avanza en el sentido de aumento de θ.

Relación matemática

Velocidad en coordenadas polares

v→=r˙r^+rθ˙θ^ \vec v=\dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta
Representa

La suma de las componentes radial y transversal de la velocidad.

Interpretación física

r˙ \dot r cambia la distancia al origen; r θ˙ \dot\theta produce movimiento transversal.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

v
vector velocidad; unidad habitual: ms \mathrm{m/s}
r, ṙ
radio y su razón de cambio; unidad habitual: m; ms \mathrm{m/s}
θ˙ \dot\theta
rapidez angular; unidad habitual: rad/s

Condiciones de aplicación

  • r y θ describen la posición en una base polar plana orientada positivamente.

Comprobación dimensional

r˙ \dot r y r θ˙ \dot\theta tienen dimensión LT L/T .

Concepto 03

Aceleración polar y relación con movimiento circular

Esencial Lo mínimo que debes conservar

La aceleración polar tiene componentes radial y transversal. Ambas pueden recibir contribuciones de más de un tipo de cambio.

ComprendeInterpreta y conecta

Para un círculo de radio constante y rapidez constante quedan r˙=r¨=θ¨=0 \dot r=\ddot r=\ddot\theta=0 . La componente radial se reduce a −rθ˙2r^ -r\dot\theta^2\hat r , dirigida hacia el centro.

ProfundizaFormulación y condiciones

La componente transversal contiene r θ¨ \ddot\theta y 2 r˙ \dot r θ˙ \dot\theta . El segundo término aparece cuando cambian simultáneamente la distancia radial y el ángulo.

ExploraConexiones para continuar

La base polar es un ejemplo de coordenadas curvilíneas. Su utilidad depende de que la geometría del problema haga más simple la descripción que una base cartesiana fija.

Relación matemática

Aceleración en coordenadas polares

a→=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^ \vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\hat r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\hat\theta
Representa

Las componentes radial y transversal de la aceleración en una base móvil.

Interpretación física

Para r constante y ω constante queda únicamente −r ω2 \omega^2 r^ \hat r .

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

a
vector aceleración; unidad habitual: ms2 \mathrm{m/s^2}
r, ṙ, r¨ \ddot r
radio y sus derivadas temporales; unidad habitual: m; ms \mathrm{m/s} ; ms2 \mathrm{m/s^2}
θ˙ \dot\theta , θ¨ \ddot\theta
velocidad y aceleración angulares; unidad habitual: rad/s; rad/s²

Condiciones de aplicación

  • Movimiento plano descrito por funciones r→(t) \vec r(t) y θ(t) dos veces diferenciables.

Comprobación dimensional

Cada término tiene dimensión LT2 L/T^2 .

Errores que evita

  • Derivar r y θ ignorando que los vectores unitarios también cambian.

Revisión conceptual

Errores frecuentes

Cada advertencia incluye una forma concreta de revisar el razonamiento, no solo una marca de respuesta incorrecta.

Tratar r^ \hat r y θ^ \hat\theta como vectores fijos al derivar.

Los unitarios polares rotan con θ; sus derivadas generan términos radiales y transversales adicionales.