Unidad 1 · Tema 02

Vectores

Los vectores permiten representar cantidades cuya descripción requiere magnitud y dirección. Sus componentes dependen de la base elegida; el vector físico no.

Unidad 1VectoresAbrir navegación

Concepto 01

Escalares y vectores

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección. El sentido distingue las dos orientaciones posibles sobre una misma dirección.

Un escalar queda descrito por un valor y su unidad. Temperatura, tiempo y masa son ejemplos escalares; desplazamiento y velocidad son vectores.

ComprendeInterpreta y conecta

Dos vectores son iguales cuando tienen la misma magnitud, dirección y sentido, aunque estén dibujados en lugares distintos.

La magnitud de un vector nunca es negativa. Una componente sí puede ser negativa porque compara el vector con el sentido positivo de un eje.

ProfundizaFormulación y condiciones

Un vector geométrico puede representarse en distintas bases. Las componentes cambian al cambiar de base, mientras que magnitudes y relaciones geométricas permanecen invariantes.

ExploraConexiones para continuar

Esta independencia de la base permite describir un mismo desplazamiento desde ejes diferentes. Elegir una base conveniente simplifica el cálculo, pero no cambia el vector físico.

Concepto 02

Componentes cartesianas, unitarios y bases

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Las componentes cartesianas indican cuánto del vector apunta a lo largo de cada eje. Sus signos dependen de los sentidos positivos elegidos.

Los vectores unitarios i, j y k sirven como direcciones de referencia para los ejes x, y y z.

ComprendeInterpreta y conecta

En una base cartesiana tridimensional se escribe A→=Axi^+Ayj^+Azk^ \vec A=A_x\hat i+A_y\hat j+A_z\hat k . Si θ se mide desde +x +x en el plano, Ax=AcosθyAy=Asinθ A_x=A\cos\theta,\quad A_y=A\sin\theta ; la geometría y el cuadrante determinan los signos.

La función atan2(Ay,Ax) \operatorname{atan2}(A_y,A_x) conserva la información del cuadrante; usar solamente arctan(AyAx) \arctan(A_y/A_x) puede producir una dirección incorrecta.

ProfundizaFormulación y condiciones

La magnitud se obtiene mediante el teorema de Pitágoras extendido. Recuperar la dirección exige combinar las componentes con sus signos.

ExploraConexiones para continuar

Las componentes son proyecciones sobre una base. En una base no ortogonal la reconstrucción sigue siendo posible, pero ya no basta aplicar directamente el teorema de Pitágoras a las componentes.

Relación matemática

Magnitud de un vector cartesiano tridimensional

A=Ax2+Ay2+Az2 A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}
Representa

La longitud del vector A en una base cartesiana ortonormal.

Interpretación física

La magnitud es no negativa aunque alguna componente sea negativa.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

Ax A_{x} , Ay A_{y} , Az A_{z}
componentes cartesianas de A; unidad habitual: misma unidad de A

Condiciones de aplicación

  • Los ejes de la base son mutuamente perpendiculares y los unitarios tienen magnitud uno.

Comprobación dimensional

Todos los términos elevados al cuadrado deben tener la misma dimensión.

Errores que evita

  • Interpretar una componente negativa como una magnitud negativa.

Relación matemática

Componentes de un vector plano a partir de su magnitud y ángulo

Ax=Acosθ,Ay=Asinθ A_x=A\cos\theta,\quad A_y=A\sin\theta
Representa

Las proyecciones cartesianas de A en el plano.

Interpretación física

Coseno acompaña al cateto adyacente al ángulo definido; seno, al opuesto.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

A
magnitud del vector; unidad habitual: unidad de A
θ
ángulo medido desde +x +x ; unidad habitual: rad o °

Condiciones de aplicación

  • θ se mide desde el eje +x +x y los signos se determinan con el cuadrante.

Comprobación dimensional

Ax A_{x} y Ay A_{y} tienen la misma dimensión que A; seno y coseno son adimensionales.

Errores que evita

  • Intercambiar seno y coseno sin revisar desde qué eje se mide θ.
Un vector A parte del origen y termina en el primer cuadrante. La componente A x es horizontal y la componente A y completa verticalmente el vector.AAxAyO

El vector A no cambia al descomponerse: Ax A_{x} y Ay A_{y} son proyecciones con signo sobre los ejes elegidos y forman el mismo desplazamiento resultante.

Concepto 03

Suma y resta de vectores

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Para sumar vectores se suman componentes correspondientes. Geométricamente, el segundo vector puede colocarse desde la punta del primero; la resultante va desde el origen inicial hasta la punta final.

Restar B equivale a sumar el vector opuesto −B→ -\vec B .

ComprendeInterpreta y conecta

La suma vectorial es conmutativa y asociativa. El orden de construcción puede cambiar el dibujo intermedio, pero no la resultante.

Una resultante pequeña no significa que los vectores sean pequeños: pueden tener magnitudes grandes y sentidos casi opuestos.

ProfundizaFormulación y condiciones

El método por componentes funciona en cualquier dimensión y evita depender de la escala del dibujo. El diagrama sigue siendo útil para anticipar signos y dirección aproximada.

ExploraConexiones para continuar

La suma de muchos vectores puede representarse con un polígono punta-cola. Si el polígono cierra, la resultante es cero, una idea que después será útil para estudiar equilibrio.

A parte del origen. B parte de la punta de A. La resultante A más B conecta el origen con la punta final.ABA + BO

La regla punta-cola conserva cada vector. La resultante A+B conecta el origen del primero con la punta del segundo.

Concepto 04

Producto escalar y producto vectorial

Esencial Lo mínimo que debes conservar

El producto escalar A→·B→ \vec A\cdot\vec B es un número que mide cuánto apunta un vector en la dirección del otro. Es cero cuando los vectores no nulos son perpendiculares.

El producto vectorial A→×B→ \vec A\times\vec B produce un vector perpendicular al plano de A y B. Su sentido se determina con la regla de la mano derecha.

ComprendeInterpreta y conecta

La magnitud AB cos θ del producto escalar puede verse como la magnitud de un vector multiplicada por la proyección del otro sobre su dirección.

La magnitud AB sin θ del producto vectorial corresponde al área del paralelogramo formado por los vectores.

ProfundizaFormulación y condiciones

El producto escalar es conmutativo. El producto vectorial no: B→×A→=−(A→×B→) \vec B\times\vec A=-(\vec A\times\vec B) . Si los vectores son paralelos, su producto vectorial es cero.

ExploraConexiones para continuar

Estos productos conectan la geometría con otras magnitudes físicas: el producto escalar aparece al calcular trabajo y el vectorial al describir torque y momento angular.

Relación matemática

Producto escalar de dos vectores

A→·B→=ABcosθ \vec A\cdot\vec B=AB\cos\theta
Representa

Una medida escalar de la alineación entre A y B.

Interpretación física

Es positivo para ángulo agudo, cero para vectores perpendiculares y negativo para ángulo obtuso.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

θ
ángulo menor entre A y B; unidad habitual: rad o °

Condiciones de aplicación

  • A y B se miden en un espacio euclidiano con el mismo sistema de unidades por componente.

Comprobación dimensional

Tiene la dimensión del producto de las magnitudes A y B.

Errores que evita

  • Olvidar que el resultado es un escalar.

Relación matemática

Magnitud del producto vectorial de dos vectores

|A→×B→|=ABsinθ |\vec A\times\vec B|=AB\sin\theta
Representa

La magnitud del vector perpendicular a A y B.

Interpretación física

La magnitud coincide con el área del paralelogramo construido con A y B.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

θ
ángulo menor entre A y B; unidad habitual: rad o °

Condiciones de aplicación

  • La dirección se completa con la regla de la mano derecha.

Comprobación dimensional

Tiene la dimensión del producto de las magnitudes A y B.

Errores que evita

  • Tratar A→×B→ \vec A\times\vec B como conmutativo; B→×A→ \vec B\times\vec A tiene sentido opuesto.
El vector B se ubica sobre el eje horizontal. El vector A forma un ángulo agudo y una guía perpendicular muestra su proyección sobre B.ABproyBA

La proyección de A sobre la dirección de B mide la parte de A alineada con B. El producto escalar multiplica esa proyección por la magnitud de B.

Revisión conceptual

Errores frecuentes

Cada advertencia incluye una forma concreta de revisar el razonamiento, no solo una marca de respuesta incorrecta.

Confundir la magnitud de un vector con una de sus componentes.

La componente es una proyección con signo; la magnitud combina todas las componentes y no es negativa.

Interpretar una componente negativa como una magnitud negativa.

El signo de una componente indica orientación respecto al eje. La magnitud del vector permanece no negativa.

Intercambiar seno y coseno sin analizar la geometría.

Identifica desde qué eje se mide el ángulo y cuál cateto es adyacente antes de escribir componentes.

Elegir un cuadrante incorrecto al recuperar la dirección.

Usa los signos de ambas componentes y una función que conserve el cuadrante, como atan2.

Tratar el producto vectorial como conmutativo.

Invertir el orden invierte el sentido: B→×A→=−(A→×B→) \vec B\times\vec A=-(\vec A\times\vec B) .