Unidad 1 · Tema 05

Movimiento en dos y tres dimensiones

En dos y tres dimensiones, posición, velocidad y aceleración son vectores. Las componentes cartesianas se relacionan mediante un mismo tiempo.

Unidad 1Movimiento 2D/3DAbrir navegación

Concepto 01

Vectores de posición, velocidad y aceleración

Esencial Lo mínimo que debes conservar

El vector posición r→(t) \vec r(t) localiza la partícula. La velocidad v→=dr→dt \vec v=d\vec r/dt es tangente a la trayectoria y la aceleración a→=dv→dt \vec a=d\vec v/dt describe el cambio del vector velocidad.

Cada componente puede derivarse por separado en una base cartesiana fija.

ComprendeInterpreta y conecta

Una trayectoria curva puede tener rapidez constante y aun así tener aceleración, porque cambia la dirección de la velocidad.

Las componentes x, y y z no corresponden a movimientos con tiempos distintos: describen el mismo evento y comparten t.

ProfundizaFormulación y condiciones

La derivación componente a componente supone que los vectores unitarios cartesianos son constantes. En bases móviles, como la polar, también hay que derivar los vectores unitarios.

ExploraConexiones para continuar

La curvatura de la trayectoria depende de cómo cambia la dirección de la velocidad. Dos movimientos pueden recorrer la misma curva con ritmos distintos y, por tanto, con aceleraciones diferentes.

Relación matemática

Vector posición cartesiano en tres dimensiones

r→(t)=x(t)i^+y(t)j^+z(t)k^ \vec r(t)=x(t)\hat i+y(t)\hat j+z(t)\hat k
Representa

La ubicación de la partícula respecto al origen cartesiano.

Interpretación física

Las coordenadas son las proyecciones de r sobre la base cartesiana elegida.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

r
vector posición; unidad habitual: m
x, y, z
coordenadas cartesianas; unidad habitual: m
t
tiempo; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

  • i, j y k forman una base cartesiana fija.

Comprobación dimensional

Cada componente tiene dimensión de longitud.

Relación matemática

Velocidad vectorial como derivada de la posición

v→=dr→dt \vec v=\frac{d\vec r}{dt}
Representa

La razón de cambio del vector posición.

Interpretación física

v es tangente a la trayectoria cuando la rapidez es distinta de cero.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

v
vector velocidad; unidad habitual: ms \mathrm{m/s}
r
vector posición; unidad habitual: m
t
tiempo; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

  • r→(t) \vec r(t) es diferenciable en el instante considerado.

Comprobación dimensional

LT L/T .

Relación matemática

Aceleración vectorial como derivada de la velocidad

a→=dv→dt \vec a=\frac{d\vec v}{dt}
Representa

La razón de cambio del vector velocidad.

Interpretación física

Puede cambiar rapidez, dirección o ambas.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

a
vector aceleración; unidad habitual: ms2 \mathrm{m/s^2}
v
vector velocidad; unidad habitual: ms \mathrm{m/s}
t
tiempo; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

  • v(t) v(t) es diferenciable en el instante considerado.

Comprobación dimensional

LT2 L/T^2 .

Concepto 02

Componentes paralela y perpendicular

Esencial Lo mínimo que debes conservar

La componente paralela de la aceleración cambia la rapidez. La componente perpendicular cambia la dirección de la velocidad.

Una aceleración puramente perpendicular puede curvar la trayectoria sin cambiar la rapidez instantánea.

ComprendeInterpreta y conecta

Esta descomposición sigue la trayectoria y no tiene que coincidir con los ejes x e y. Resulta especialmente útil en movimiento circular.

ProfundizaFormulación y condiciones

Para rapidez no nula, la aceleración tangencial tiene magnitud dvdt dv/dt y la normal tiene magnitud v2 v^2 /ρ, donde ρ es el radio local de curvatura.

ExploraConexiones para continuar

La misma descomposición tangencial-normal se usa en cualquier trayectoria suave. El radio local de curvatura reemplaza al radio fijo de una circunferencia.

Concepto 03

Movimiento de proyectiles

Esencial Lo mínimo que debes conservar

En el modelo sin resistencia del aire y con g aproximadamente constante, ax=0yay=−g a_x=0,\quad a_y=-g cuando +y apunta hacia arriba.

El movimiento horizontal tiene velocidad constante y el vertical tiene aceleración constante; ambos comparten el mismo tiempo.

ComprendeInterpreta y conecta

En el punto más alto, la componente vertical de la velocidad es cero, pero la velocidad horizontal puede ser distinta de cero y la aceleración sigue apuntando hacia abajo.

La forma parabólica resulta de combinar x lineal en t con y cuadrática en t bajo estas condiciones.

ProfundizaFormulación y condiciones

Las fórmulas de alcance o tiempo de vuelo que suponen alturas inicial y final iguales no deben aplicarse a lanzamientos entre alturas diferentes.

ExploraConexiones para continuar

La resistencia del aire acopla los movimientos horizontal y vertical porque depende del vector velocidad. La trayectoria deja de ser exactamente parabólica y el alcance debe obtenerse con un modelo más completo.

Relación matemática

Componentes de aceleración de un proyectil ideal

ax=0,ay=−g a_x=0,\quad a_y=-g
Representa

La aceleración en el modelo ideal de proyectil.

Interpretación física

La aceleración horizontal es cero; la vertical apunta hacia abajo durante todo el vuelo.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

ax a_{x} , ay a_{y}
componentes de la aceleración; unidad habitual: ms2 \mathrm{m/s^2}
g
magnitud de la aceleración gravitacional local; unidad habitual: ms2 \mathrm{m/s^2}

Condiciones de aplicación

  • Resistencia del aire despreciable, g aproximadamente constante y +y hacia arriba.

Comprobación dimensional

ax a_{x} , ay a_{y} y g tienen dimensión LT2 L/T^2 .

Errores que evita

  • Suponer que ay a_{y} se hace cero en el punto más alto.

Relación matemática

Posición de un proyectil ideal en componentes

x=x0+v0xt,y=y0+v0yt−12gt2 x=x_0+v_{0x}t,\quad y=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2
Representa

La posición horizontal y vertical en función del mismo tiempo.

Interpretación física

x(t) x(t) es lineal y y(t) es cuadrática; al eliminar t se obtiene una parábola.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

x, y, x0 x_{0} , y₀
posiciones final e inicial; unidad habitual: m
v0 v_{0} ₓ, v0 v_{0} ᵧ
componentes de la velocidad inicial; unidad habitual: ms \mathrm{m/s}
t
tiempo transcurrido; unidad habitual: s
g
magnitud de la aceleración gravitacional local; unidad habitual: ms2 \mathrm{m/s^2}

Condiciones de aplicación

  • Las mismas hipótesis del proyectil ideal y ejes cartesianos fijos.

Comprobación dimensional

Cada término de posición tiene dimensión L.

Errores que evita

  • Usar tiempos distintos para las componentes horizontal y vertical.
Trayectoria parabólica desde el suelo hasta regresar al suelo, con puntos que avanzan en intervalos iguales de tiempo.suelovᵧ = 0; aᵧ = −g
  • Trayectoria

Cada punto corresponde al mismo tiempo en x e y. La separación horizontal uniforme refleja vx v_{x} constante; la curvatura vertical refleja ay a_{y} = −g.

Revisión conceptual

Errores frecuentes

Cada advertencia incluye una forma concreta de revisar el razonamiento, no solo una marca de respuesta incorrecta.

Tratar x e y como movimientos con tiempos independientes.

Las componentes se analizan por separado, pero describen el mismo evento y comparten t.

Asignar aceleración horizontal en el modelo ideal.

Sin resistencia del aire, ax a_{x} = 0. La aceleración es vertical y apunta hacia abajo.

Creer que a = 0 en el punto más alto.

La componente vertical de velocidad se anula, no la aceleración gravitacional.

Confundir velocidad vertical cero con velocidad total cero.

En el punto más alto vy v_{y} = 0, pero vx v_{x} puede seguir siendo distinta de cero.