Unidad 1 · Tema 04

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones cinemáticas expresan un modelo. Antes de usarlas hay que declarar sistema de referencia, intervalo y comportamiento de la aceleración.

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Esencial Lo mínimo que debes conservar

Si la aceleración es constante durante el intervalo, la velocidad cambia linealmente y la posición cambia cuadráticamente con el tiempo.

Las cuatro ecuaciones usuales son relaciones del mismo modelo; se elige una después de identificar datos, incógnita y condiciones, no por coincidencia superficial de símbolos.

ComprendeInterpreta y conecta

En $v(t)$ , la pendiente es a y el área algebraica es $\Delta x$ . Cuando v cruza cero, el objeto cambia de sentido si la descripción continúa suavemente.

La velocidad promedio $(v_0+v)/2$ solo puede usarse de esta forma cuando la aceleración es constante.

ProfundizaFormulación y condiciones

Integrar a constante produce $v=v_0+at$ . Integrar esa velocidad desde la condición inicial produce $x=x_0+v_0t+\frac12at^2$ . Las otras relaciones se obtienen eliminando t o usando el promedio lineal de velocidades.

ExploraConexiones para continuar

Un movimiento real puede aproximarse por tramos de aceleración casi constante. La utilidad de la aproximación depende de que cada intervalo sea suficientemente corto para el propósito del análisis.

v=v_0+at

Representa

La velocidad después de un intervalo t con aceleración constante.

Interpretación física

$v(t)$ es una recta cuya pendiente es a.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

v, $v_{0}$: velocidades final e inicial; unidad habitual: $\mathrm{m/s}$
a: aceleración constante; unidad habitual: $\mathrm{m/s^2}$
t: tiempo transcurrido; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

a es constante durante todo el intervalo y t se mide desde la condición inicial.

Comprobación dimensional

Cada término tiene dimensión $L/T$ .

Errores que evita

Usarla cuando a cambia con el tiempo.

x=x_0+v_0t+\frac12at^2

Representa

La posición después de un intervalo t con aceleración constante.

Interpretación física

$x(t)$ es cuadrática; su pendiente local coincide con $v(t)$ .

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

x, $x_{0}$: posiciones final e inicial; unidad habitual: m
$v_{0}$: velocidad inicial; unidad habitual: $\mathrm{m/s}$
a: aceleración constante; unidad habitual: $\mathrm{m/s^2}$
t: tiempo transcurrido; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

a es constante y $x_{0}$ , $v_{0}$ corresponden al inicio del intervalo.

Comprobación dimensional

$x_{0}$ , $v_{0}$ t y $1/2$ a $t^2$ tienen dimensión de longitud.

Errores que evita

Omitir la posición inicial o perder el signo de a.

v^2=v_0^2+2a(x-x_0)

Representa

La relación entre velocidad y desplazamiento sin usar explícitamente el tiempo.

Interpretación física

Conserva información sobre $v^2$ ; el sentido de v debe decidirse con el contexto.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

v, $v_{0}$: velocidades final e inicial; unidad habitual: $\mathrm{m/s}$
a: aceleración constante; unidad habitual: $\mathrm{m/s^2}$
x, $x_{0}$: posiciones final e inicial; unidad habitual: m

Condiciones de aplicación

a es constante durante el desplazamiento considerado.

Comprobación dimensional

Ambos lados tienen dimensión L²/T².

Errores que evita

Tomar automáticamente la raíz positiva al despejar v.

\Delta x=\frac{v_0+v}{2}t

Representa

El área algebraica bajo una velocidad que cambia linealmente.

Interpretación física

$(v_0+v)/2$ es la velocidad media porque $v(t)$ es lineal.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

$\Delta x$: desplazamiento; unidad habitual: m
$v_{0}$ , v: velocidades inicial y final; unidad habitual: $\mathrm{m/s}$
t: tiempo transcurrido; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

Solo para aceleración constante durante el intervalo.

Comprobación dimensional

( $L/T$ )·T = L.

Errores que evita

Usar este promedio cuando la aceleración no es constante.

v(t)=4−1,2t

La velocidad $v(t)$ =4−1,2t cruza cero: el área positiva anterior al cruce aporta desplazamiento hacia $+x$ y el área posterior aporta desplazamiento hacia $-x$ .

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Un cambio de sentido ocurre cuando la velocidad cambia de signo. El instante v = 0 separa dos intervalos de movimiento, pero la aceleración puede seguir siendo distinta de cero.

El desplazamiento suma contribuciones con signo; la distancia suma longitudes y por eso exige separar los intervalos cuando hay retorno.

ComprendeInterpreta y conecta

Una aceleración opuesta a la velocidad reduce la rapidez hasta el reposo instantáneo. Si la aceleración continúa, después aumenta la rapidez en el sentido contrario.

ProfundizaFormulación y condiciones

Para calcular distancia desde $v(t)$ , deben localizarse sus ceros y sumar el valor absoluto del desplazamiento en cada intervalo. Integrar | $v(t)$ | produce distancia recorrida.

ExploraConexiones para continuar

La distancia recorrida es la variación total de la posición a lo largo del intervalo. Esta idea se generaliza a trayectorias curvas sumando longitudes cada vez más pequeñas.

Esencial Lo mínimo que debes conservar

En el modelo introductorio de caída libre se desprecia la resistencia del aire, se aproxima g como constante y se estudia una región próxima a la superficie terrestre.

g ≈ 9,8 $\mathrm{m/s^2}$ es la magnitud local aproximada. Si +y apunta hacia arriba, $a_{y}$ = −g. El signo proviene del eje, no del símbolo g.

ComprendeInterpreta y conecta

En la altura máxima de un lanzamiento vertical, $v_{y}$ = 0 pero $a_{y}$ = −g. La gravedad actúa durante el ascenso, en el punto más alto y durante el descenso.

Las simetrías de tiempo o rapidez solo se aplican entre puntos de la misma altura bajo las mismas condiciones del modelo.

ProfundizaFormulación y condiciones

El cuerpo puede tratarse como partícula cuando su tamaño y rotación no son relevantes para la pregunta. Si la resistencia del aire importa, la aceleración ya no es constante ni necesariamente igual para ascenso y descenso.

ExploraConexiones para continuar

Con resistencia del aire, objetos de igual forma pueden caer de manera distinta según su masa, área y rapidez. El valor constante −g deja de ser la aceleración total, aunque la gravedad siga actuando.

y(t) durante un lanzamiento vertical

y(t)

La altura aumenta hasta que la pendiente se hace cero y luego disminuye. La concavidad hacia abajo refleja $a_{y}$ = −g durante todo el intervalo.

$v_{y}$ (t) bajo aceleración gravitacional

vᵧ(t)

La velocidad vertical disminuye linealmente. Cruza cero en la altura máxima, pero la pendiente permanece −g.

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Cuando a cambia con el tiempo, las ecuaciones de aceleración constante no son válidas. La velocidad se obtiene acumulando $a(t)$ y la posición acumulando $v(t)$ .

Las condiciones iniciales fijan qué movimiento particular corresponde a esas funciones.

ComprendeInterpreta y conecta

La integral de $a(t)$ entre dos instantes es $\Delta v$ , no necesariamente la velocidad final. Hay que sumar la velocidad inicial.

De manera análoga, la integral de $v(t)$ es desplazamiento y se suma a la posición inicial para obtener $x(t)$ .

ProfundizaFormulación y condiciones

Si la aceleración depende de posición o velocidad, puede ser necesario cambiar variables o resolver una ecuación diferencial. En esta unidad se establece la relación conceptual sin construir todavía un método general de solución.

ExploraConexiones para continuar

Cuando los datos se conocen solo en instantes discretos, la acumulación puede aproximarse numéricamente mediante áreas de rectángulos o trapecios. El tamaño del paso controla parte del error.

v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}a(\tau)d\tau

Representa

La velocidad como condición inicial más el cambio acumulado.

Interpretación física

El área algebraica bajo $a(t)$ es $\Delta v$ , no v por sí sola.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

$v(t)$ , $v_{0}$: velocidades final e inicial; unidad habitual: $\mathrm{m/s}$
a(τ): aceleración integrada; unidad habitual: $\mathrm{m/s^2}$
t, t₀, τ: tiempos y variable de integración; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

$a(t)$ es integrable en el intervalo y $v_{0}$ corresponde a t₀.

Comprobación dimensional

( $L/T^2$ )·T = $L/T$ .

x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(\tau)d\tau

Representa

La posición como condición inicial más el desplazamiento acumulado.

Interpretación física

El área algebraica bajo $v(t)$ es $\Delta x$ .

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

$x(t)$ , $x_{0}$: posiciones final e inicial; unidad habitual: m
v(τ): velocidad integrada; unidad habitual: $\mathrm{m/s}$
t, t₀, τ: tiempos y variable de integración; unidad habitual: s

Condiciones de aplicación

$v(t)$ es integrable en el intervalo y $x_{0}$ corresponde a t₀.

Comprobación dimensional

( $L/T$ )·T = L.

Revisión conceptual

Errores frecuentes

Cada advertencia incluye una forma concreta de revisar el razonamiento, no solo una marca de respuesta incorrecta.

Aplicar ecuaciones cinemáticas cuando a no es constante.

Verifica primero el comportamiento de a. Si cambia, usa la relación diferencial o integral apropiada.

Elegir una fórmula solo porque contiene las variables conocidas.

Identifica el modelo, los intervalos y las hipótesis antes de seleccionar una relación matemática.

Usar

(v_0+v)/2

fuera de aceleración constante.

Ese promedio funciona porque $v(t)$ es lineal cuando a es constante. En otro caso debes integrar.

Ignorar un cambio de sentido al calcular distancia.

Localiza cuándo v = 0 y suma por separado la longitud recorrida en cada intervalo.

Asumir que v = 0 implica a = 0.

El reposo puede ser instantáneo. La aceleración describe cómo cambia v y puede seguir siendo distinta de cero.

Considerar g necesariamente negativo.

g representa una magnitud positiva aproximada. El signo de la componente depende del eje elegido.

Creer que la gravedad solo actúa mientras el objeto baja.

En el modelo, la aceleración gravitacional actúa durante ascenso, altura máxima y descenso.

Creer que a = 0 en el punto más alto.

En ese instante $v_{y}$ = 0, pero si +y apunta arriba, $a_{y}$ = −g.

Aplicar simetría entre puntos de distinta altura sin comprobar condiciones.

La simetría simple compara puntos de igual altura dentro del mismo modelo y sin resistencia del aire.

Aula Física

Ecuaciones del movimiento

Modelo de aceleración constante

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Velocidad para aceleración constante

Variables

Condiciones de aplicación

Comprobación dimensional

Errores que evita

Posición para aceleración constante

Variables

Condiciones de aplicación

Comprobación dimensional

Errores que evita

Relación cinemática sin tiempo para aceleración constante

Variables

Condiciones de aplicación

Comprobación dimensional

Errores que evita

Desplazamiento mediante velocidad promedio con aceleración constante

Variables

Condiciones de aplicación

Comprobación dimensional

Errores que evita

Cambio de sentido y lectura por intervalos

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Caída libre como modelo

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Aceleración no constante e integración

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Velocidad obtenida por integración de la aceleración

Variables

Condiciones de aplicación

Comprobación dimensional

Posición obtenida por integración de la velocidad

Variables

Condiciones de aplicación

Comprobación dimensional

Errores frecuentes