Unidad 4 · Tema 07
Fuerza y energía potencial
Una función U(x) contiene información local sobre la fuerza conservativa. La pendiente, con signo opuesto, determina hacia dónde apunta la fuerza y permite clasificar equilibrios.
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Concepto 01
La fuerza apunta hacia menor U
Esencial Lo mínimo que debes conservar
En una dimensión, .
ComprendeInterpreta y conecta
Si U aumenta con x, la fuerza apunta hacia -x; si U disminuye, apunta hacia +x.
ProfundizaFormulación y condiciones
El signo menos traduce la tendencia física hacia valores menores de energía potencial.
ExploraConexiones para continuar
La magnitud de la pendiente indica la magnitud local de la fuerza conservativa.
Relación matemática
Fuerza y movimiento desde U(x)
La fuerza conservativa como pendiente negativa y la rapidez permitida en un diagrama 1D.
La fuerza apunta hacia menor U y solo es región permitida.
ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones
Variables
- F_x
- fuerza conservativa; unidad habitual: N
- U
- energía potencial; unidad habitual: J
- E
- energía mecánica total; unidad habitual: J
- v
- rapidez; unidad habitual: m/s
Condiciones de aplicación
- Sistema conservativo unidimensional.
- La expresión de v exige E≥U.
Comprobación dimensional
J/m=N; la raíz produce m/s.
Errores que evita
- Usar F=dU/dx.
- Permitir U>E con K real.
F_x es la pendiente negativa
- U=x²
A la izquierda la pendiente es negativa y F apunta a +x; a la derecha la pendiente es positiva y F apunta a -x.
Concepto 02
Recuperar fuerzas conocidas
Esencial Lo mínimo que debes conservar
Para U=(1/2)kx² se recupera F_x=-kx.
ComprendeInterpreta y conecta
Para U=mgy con +y hacia arriba se obtiene F_y=-mg.
ProfundizaFormulación y condiciones
La constante aditiva de U desaparece al derivar.
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Distintas referencias de potencial producen exactamente la misma fuerza.
Ejemplo resuelto
Equilibrio desde una función U(x)
Una partícula tiene U(x)=4x-x², en joules si x está en metros.
- U(x)=4x-x² J
Encontrar y clasificar el equilibrio.
- Principio
.
- Derivada
dU/dx=4-2x, por tanto F_x=2x-4.
- Equilibrio
F_x=0 da x=2 m.
- Clasificación
U''=-2<0: U tiene un máximo local y el equilibrio es inestable.
Concepto 03
Condición de equilibrio
Esencial Lo mínimo que debes conservar
En equilibrio, F_x=0 y por tanto dU/dx=0.
ComprendeInterpreta y conecta
Un mínimo local corresponde a equilibrio estable y un máximo local a equilibrio inestable.
ProfundizaFormulación y condiciones
Una región localmente plana representa equilibrio neutral en el modelo ideal.
ExploraConexiones para continuar
No todo punto con pendiente cero es estable: debe examinarse la forma local de U.
Concepto 04
Potenciales suaves cerca del equilibrio
Esencial Lo mínimo que debes conservar
Cerca de un mínimo suave, U suele parecerse localmente a una parábola.
ComprendeInterpreta y conecta
Esa aproximación produce una fuerza aproximadamente proporcional al desplazamiento.
ProfundizaFormulación y condiciones
La curvatura mide qué tan rígido es el confinamiento alrededor del equilibrio.
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Por eso el modelo de resorte aparece cerca de muchos equilibrios estables aunque la interacción real no sea un resorte.
Revisión conceptual
Errores frecuentes
Cada advertencia incluye una forma concreta de revisar el razonamiento, no solo una marca de respuesta incorrecta.
Tomar F_x=dU/dx.
La fuerza conservativa es .
Clasificar cualquier punto con dU/dx=0 como estable.
Examina la forma local: mínimo estable, máximo inestable y región plana neutral.