Ejercicios de Gravitación y movimiento periódico

$F=Gm_1m_2/r^2$ .

F=6,674×10^-11(1000)(1500)/(2,0)²=2,503×10^-5 N.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Compara el factor 1/r².

Al duplicar r, el denominador se multiplica por cuatro.

La fuerza gravitacional apunta hacia cada masa fuente.

F₁=-1,6685 N, F₂=+2,6696 N y F_net=+1,0011 N.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Distingue fuerza de aceleración.

Las fuerzas del par tienen igual módulo y sentidos opuestos.

El campo sigue una ley inversa al cuadrado.

g=9,8/2²=2,45 m/s².

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

g=g₀/(1,5)² y P=mg.

P=70(9,8/2,25)=304,9 N.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

La masa es una propiedad del cuerpo; el peso depende del campo.

La masa permanece y el peso mg disminuye.

Suma vectorialmente los dos campos.

Tienen igual magnitud y direcciones opuestas.

U=-μm/r.

U=-(3,986×10^14)(1000)/(7,00×10^6)=-5,694×10^10 J.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

ΔU=μm(1/R_T-1/(2R_T)).

ΔU=+3,128×10^10 J: al alejarse, U aumenta.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Evalúa K+U en el estado final.

En el infinito ideal, K_f=0 y U_f=0, por lo que E=0.

La aproximación supone un campo casi uniforme.

Requiere Δh pequeña comparada con el radio planetario.

$v=\sqrt{\mu/r}$ .

v=√(3,986×10^14/7,00×10^6)=7546 m/s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

$T=2\pi\sqrt{r^3/\mu}$ .

T≈5829 s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

En una órbita circular, E/m=-μ/(2r).

E/m=-2,847×10^7 J/kg.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

$v_{esc}=\sqrt{2\mu/r}$ .

v_esc≈10672 m/s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

T₂/T₁=(a₂/a₁)^(3/2).

4^(3/2)=8.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Aplica áreas iguales en tiempos iguales.

Cerca del periastro debe recorrer un arco más rápido.

T=2π√(a³/μ).

T≈2,518×10^6 s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Para un objeto no rotante y sin carga, $r_s=2GM/c^2$ ; no es una derivación newtoniana.

r_s≈2,950×10^3 m.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

$T=1/f$ .

T=1/2,50=0,400 s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

ω=2π/T.

ω=2π/0,800=7,854 rad/s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

A=max|x-x_eq|.

A=0,12 m.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

MAS exige una relación restauradora lineal.

La periodicidad sola no garantiza a∝-x.

ω₀=√(k/m).

ω₀=√(200/2)=10,0 rad/s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

x=Acos(ω₀t).

La fase es π/2 y x=0.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

v_max=Aω₀.

v_max=1,00 m/s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

$a=-\omega_0^2x$ .

a=-(10)²(0,050)=-5,0 m/s².

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

$E=\frac12kA^2$ .

E=2,00 J.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

U=(1/2)kx².

U=0,50 J.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

|v|=√[(k/m)(A²-x²)].

|v|=√3=1,732 m/s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Busca dónde U es mínima.

En equilibrio U=0 y K, por tanto la rapidez, es máxima.

$T=2\pi\sqrt{L/g}$ .

T≈2,007 s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

L=g(T/2π)².

L≈0,993 m.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Para la barra, T=2π√(2L/3g).

T≈1,639 s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Identifica la aproximación usada al linealizar sinθ.

La independencia es aproximada en el régimen de ángulo pequeño.

A_env=A₀e^{-γt}.

A_env=0,20e^-1=0,0736 m.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

γ=2 rad/s<ω₀=10 rad/s.

ω_d=√96=9,798 rad/s.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

$A=F_0/\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}$ .

En Ω=10 rad/s, A=10/40=0,250 m.

Comprueba unidades, signo y condiciones del modelo.

Compara curvas de respuesta con distintos b>0.

Un amortiguamiento mayor reduce y ensancha el pico finito.