Unidad 7 · Tema 07

Movimiento armónico simple

El MAS se reconoce por una aceleración restauradora lineal a=−ω₀²x.

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Concepto 01

Aceleración hacia el equilibrio

Esencial Lo mínimo que debes conservar

En MAS a=−ω₀²x: a y x tienen signos opuestos salvo en el equilibrio.

ComprendeInterpreta y conecta

En los extremos |a| es máxima y v=0.

ProfundizaFormulación y condiciones

La constante ω₀² fija la proporcionalidad restauradora.

ExploraConexiones para continuar

La linealidad es una aproximación común cerca de mínimos suaves de energía.

Concepto 02

Posición, velocidad y aceleración

Esencial Lo mínimo que debes conservar

x=Acos(ω₀t+φ) x=A\cos(\omega_0t+\phi) , v=−Aω₀sin(ω₀t+φ) y a=−ω₀²x.

ComprendeInterpreta y conecta

v está desfasada un cuarto de ciclo respecto de x.

ProfundizaFormulación y condiciones

Derivar conserva los signos y muestra que a se opone a x.

ExploraConexiones para continuar

La fase φ selecciona la condición inicial sin cambiar ω₀.

Ejemplo resuelto

Oscilador masa–resorte

m=2,0 kg, k=200 N/m y A=0,10 m.

Datos
  • m=2,0 kg
  • k=200 N/m
  • A=0,10 m
Objetivo

Calcular ω₀, T y v_max.

  1. Frecuencia

    ω₀=sqrt(k/m)=10 rad/s.

  2. Periodo

    T=2π/ω₀≈0,628 s.

  3. Rapidez

    v_max=Aω₀.

  4. Resultado

    v_max=1,00 m/s.

Conclusión

ω₀=10 rad/s, T≈0,628 s y v_max=1,00 m/s.

Relación matemática

Estado del MAS

x=Acos(ω₀t+φ),v=−Aω₀sin(ω₀t+φ),a=−ω₀2x x=A\cos(\omega_0t+\phi),\ v=-A\omega_0\sin(\omega_0t+\phi),\ a=-\omega_0^2x
Representa

Posición, velocidad y aceleración armónicas.

Interpretación física

La aceleración se opone siempre al desplazamiento.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

A
amplitud no negativa; unidad habitual: m
φ
fase inicial; unidad habitual: rad

Condiciones de aplicación

  • Movimiento armónico simple ideal.

Comprobación dimensional

m, m/s y m/s².

a=−ω₀²x

Tres curvas normalizadas frente a la fase.
  • x/A
  • v/(Aω₀)
  • a/(Aω₀²)

x, v y a tienen desfases y signos definidos por derivación.

Concepto 03

Frecuencia natural

Esencial Lo mínimo que debes conservar

Para F=−kx, ω₀=sqrt(k/m) y T=2πsqrt(m/k).

ComprendeInterpreta y conecta

Aumentar k eleva ω₀; aumentar m la reduce.

ProfundizaFormulación y condiciones

En el modelo lineal ideal ω₀ no depende de A.

ExploraConexiones para continuar

No linealidades del resorte limitan esta independencia.

Relación matemática

Oscilador masa–resorte

ω0=km,T=2πmk \omega_0=\sqrt{k/m},\quad T=2\pi\sqrt{m/k}
Representa

Frecuencia natural y periodo de un resorte ideal.

Interpretación física

ω₀ no depende de A en el modelo lineal.

ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones

Variables

k
constante del resorte; unidad habitual: N/m
m
masa; unidad habitual: kg

Condiciones de aplicación

  • F=−kx; resorte lineal ideal.

Comprobación dimensional

rad/s y s.

Tres posiciones de una masa muestran F=−kx hacia el equilibrio.x<0mx>0FFx=0

A ambos lados del equilibrio, la fuerza restauradora apunta hacia x=0.

Concepto 04

Cuándo funciona

Esencial Lo mínimo que debes conservar

MAS requiere una fuerza neta aproximadamente proporcional a −x.

ComprendeInterpreta y conecta

El origen debe coincidir con el equilibrio del modelo.

ProfundizaFormulación y condiciones

Fricción apreciable o fuerzas externas cambian la ecuación.

ExploraConexiones para continuar

Muchos sistemas admiten MAS solo para desviaciones pequeñas.

Revisión conceptual

Errores frecuentes

Cada advertencia incluye una forma concreta de revisar el razonamiento, no solo una marca de respuesta incorrecta.

Poner a con el mismo signo que x.

En MAS a=−ω₀²x.

Hacer depender ω₀ de A en el resorte lineal ideal.

ω₀=sqrt(k/m), independiente de A en ese modelo.