Unidad 7 · Tema 10
Amortiguamiento, forzamiento y resonancia
Disipación y forzamiento separan la frecuencia natural, la amortiguada y la impulsora.
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Concepto 01
Pérdida de amplitud mecánica
Esencial Lo mínimo que debes conservar
m x''+b x'+kx=0 modela una fuerza disipativa proporcional a la velocidad.
ComprendeInterpreta y conecta
Con ω₀=sqrt(k/m) y γ=b/(2m), el régimen subamortiguado exige γ<ω₀.
ProfundizaFormulación y condiciones
Entonces ω_d=sqrt(ω₀²−γ²) y la envolvente es A₀e^(−γt).
ExploraConexiones para continuar
La energía mecánica se transfiere a otras formas; no desaparece.
Relación matemática
Oscilador amortiguado
Frecuencia natural, decaimiento y frecuencia amortiguada.
La envolvente A₀e^(−γt) decrece sin destruir energía total.
ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones
Variables
- γ
- constante de decaimiento; unidad habitual: s⁻¹
- ω_d
- frecuencia angular amortiguada; unidad habitual: rad/s
Condiciones de aplicación
- Régimen subamortiguado γ<ω₀.
Comprobación dimensional
s⁻¹ y rad/s.
Concepto 02
Oscilar o volver sin oscilar
Esencial Lo mínimo que debes conservar
Subamortiguado, crítico y sobreamortiguado describen respuestas cualitativamente distintas.
ComprendeInterpreta y conecta
Solo el subamortiguado posee ω_d real y oscilaciones decrecientes.
ProfundizaFormulación y condiciones
El crítico separa el retorno oscilatorio del no oscilatorio.
ExploraConexiones para continuar
La solución algebraica completa de todos los regímenes queda fuera del núcleo.
Concepto 03
Una frecuencia externa
Esencial Lo mínimo que debes conservar
m x''+b x'+kx=F₀cos(Ωt) usa Ω para la frecuencia impulsora.
ComprendeInterpreta y conecta
Tras los transitorios, A(Ω)=F₀/sqrt[(k−mΩ²)²+(bΩ)²].
ProfundizaFormulación y condiciones
Con b>0 el denominador mantiene finita la amplitud.
ExploraConexiones para continuar
No se debe confundir Ω con la frecuencia amortiguada ω_d.
Ejemplo resuelto
Amplitud estacionaria de un oscilador forzado
m=1,0 kg, k=100 N/m, b=4,0 kg/s, F₀=10 N y Ω=10 rad/s.
- m=1,0 kg
- k=100 N/m
- b=4,0 kg/s
- F₀=10 N
- Ω=10 rad/s
Calcular A(Ω).
- Modelo
A=F₀/sqrt[(k−mΩ²)²+(bΩ)²].
- Reactivo
k−mΩ²=0.
- Disipativo
bΩ=40.
- Resultado
A=10/40=0,25 m.
Relación matemática
Respuesta forzada estacionaria
Amplitud estacionaria de un oscilador lineal amortiguado.
El pico es finito y su máximo no tiene que estar exactamente en ω₀.
ProfundizaVariables, condiciones y comprobaciones
Variables
- Ω
- frecuencia angular impulsora; unidad habitual: rad/s
- F₀
- amplitud de la fuerza externa; unidad habitual: N
Condiciones de aplicación
- b>0 para el conjunto parametrizado; respuesta estacionaria lineal.
Comprobación dimensional
m.
A(Ω) finita para b>0
- envolvente e^(−γt)
- b pequeño
- b mayor
La respuesta libre decae y el pico forzado permanece finito; más amortiguamiento lo reduce y ensancha.
Concepto 04
Pico finito y ancho
Esencial Lo mínimo que debes conservar
Resonancia es una respuesta grande cerca de la región natural del sistema.
ComprendeInterpreta y conecta
Aumentar b reduce y ensancha el pico.
ProfundizaFormulación y condiciones
Con amortiguamiento el máximo de amplitud no tiene que estar exactamente en ω₀.
ExploraConexiones para continuar
Diseñar o evitar resonancia exige atender amplitud, fase y disipación.
Revisión conceptual
Errores frecuentes
Cada advertencia incluye una forma concreta de revisar el razonamiento, no solo una marca de respuesta incorrecta.
Decir que el amortiguamiento destruye energía.
Reduce energía mecánica y la transfiere a otras formas.
Afirmar que resonancia implica amplitud infinita.
Con b>0 la amplitud estacionaria es finita y el pico depende de b.